גיאומטריה מצולעים
מצולעים מצולעהוא צורה דו ממדית,עשויה קו"שבור"סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שappleי קדקודים שאיappleם סמוכים זה לזה. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם EC אלכסוןבמצולע. ABCDE מספרהאלכסוappleים במצולעשמספרצלעותיו nשווהל- n( n 3). כיוון שקדקוד מסויםלא יכולה להתחבר לכדי אלכסון לא עם עצמו ולא עם שappleי שכappleיו,מספר האלכסוappleים של כל קדקוד הוא n ( אלכסוappleים,אךחישוב מכפלתביטוייםאלה גורמתלספירהכפולהשל n ישappleם n) )קדקודים במצולעשיוצרים 3) 3) מספר האלכסוappleים (כל אלכסוןיוצא משappleיקדקודים). לכן,מחלקיםב- את הביטוי. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם מצולעבעל 5 צלעות ולכןמספר אלכסוappleיוהוא: 5 ( 5 3) 5 אלכסוappleים 5 180 n) סכוםהזוויות הפappleימיותבמצולעשמספרצלעותיו n הוא: לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכםמצולעבעל 6 צלעות. לפיכך,סכום הזוויות הפappleימיותבמצולעזההוא: (180 6) 1080 70
שאלה לדוגמה -מצולעים. a appleתוappleיםשappleי מצולעים:מצולע a ומצולע סכום הזוויות הפappleימיות של מצולע. b b כפול מסכוםהזוויות הפappleימיותשלמצולע המצולע b איappleויכוללהיות - מרובע מחומש משושה מתומן (1) () (3) (4) פתרון: appleמצאאת סכומיהזוויות הפappleימיותשבכל המצולעיםעד 'מתומן' (מצולעיםשמספר צלעותיהםקטןמ- 8 ) וappleבדוקאיזה מהמצולעים איappleו מתאים להיות המצולע b.כלומר, appleמצאבאיזהמצולעסכום הזוויתהפappleימיותהואלאכפולהשל סכוםהזוויות הפappleימיותשלמצולע אחר.במשולש ובמרובעסכומי הזוויות הפappleימיות ידועיםלappleו ולכןאיןלappleוצורך להשתמש בappleוסחה,הסכומיםהם 180 הappleוסחה לסכום זוויות פappleימיות במצולע בעל ו- 360. 180 n) n צלעותהיא: מהappleוסחהappleיתן להסיקכיכלצלע שappleוספתלמצולע (ככלשappleגדילאת appleכתוב את סכום הזוויות הפappleימיות בכל המצולעים שמספר צלעותיהם קטן מ- 8 : משולש- 180,מרובע - 360,מחומש - 540,משושה - 70,מצולעבעל 7 כעתappleחפש מצולע שסכום זוויותיו הפappleימיותגדולפי ( n תוסיףעוד 180 לסכום הזוויותהפappleימיותבמצולע. צלעות- 900,מתומן -.1080 ממצולעאחר, appleבדוקאיזותשובה איappleה מתאימה: (1) סכוםהזוויות הפappleימיותבמרובעגדולפי מסכוםזה במשולש.תשובהזו מתאימה. () סכוםהזוויות הפappleימיות במחומשאיappleוגדולפי מסכום זהבמצולע אחר.תשובהזואיappleה מתאימה. (3) סכוםהזוויות הפappleימיותבמשושהגדולפי מסכוםזה במרובע.תשובהזו מתאימה. (4) סכוםהזוויות הפappleימיות במתומןגדולפי מסכוםזה במחומש.תשובהזו מתאימה. התשובההappleכוappleההיא ().
מצולעים משוכללים מצולעמשוכללהוא מצולעשכלצלעותיווכל זוויותיו הפappleימיותשוותזולזובגודלן. לדוגמה:משושה משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל שש צלעות. ריבוע הואמצולעמשוכללבעל 4 צלעות. משולששווהצלעותהוא מצולעמשוכללבעל 3 צלעות. גודלהזוויתהפappleימית (α )במצולעמשוכלל שמספרצלעותיו :n 6 צלעות. ( 180 n) α n לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם מצולע משוכלל בעל גודל זוויותפappleימית במצולעזה: (180 6) α 6 180 60 10 בappleיית עזר appleפוצה בשאלות רבות בappleושא מצולעים משוכללים היא חיבור קדקודי המצולע עם מרכזו. בappleייה זו תיצור משולשים שווי שוקיים חופפים כמספר הצלעות במצולע (במחומש 5 משולשים, במשושה 6 משולשיםוכו'). כמוכן, appleוכללגלותאתזוויות המשולשים שappleוצרים (ראה פירוטבהמשך). למשל:בסרטוטים שלפappleיכם דוגמאותלבappleיית עזרזובמשושה משוכלל ובמתומן משוכלל. *במצולעים משוכללים בעלי מספר קדקודים זוגי (מתומן, משושה, ריבוע) מרכז המצולע appleמצא על האלכסוappleים המחברים קדקודים appleגדיים במצולע. סוגappleוסףשל שאלות מצולעיםמשוכללים כולל חסימהשל מעגלים. צורה חסומה היא צורה שכלקדקודיה appleמצאים על היקף הצורה החוסמת. כל מצולע משוכלל appleיתן לחסימה במעגל ובכל מצולע משוכלל appleיתן לחסום מעגל. מעגל חסום בצורה הוא מעגל שכלצלעות הצורה החוסמת משיקות לו. למשל:בסרטוטים שלפappleיכם מעגלחסום במשושהמשוכלל ומשושהמשוכלל החוסם מעגל. בצורהמשוכללת,מרכזהמעגל החסוםהואגםמרכזהמעגלהחוסם וגם מרכזהצורההמשוכללת. לכן,במצולעים משוכללים בעלי מספר קדקודים זוגי (מתומן, משושה, ריבוע) מרכז המעגל החוסם והחסום appleמצא על האלכסוappleים המחברים קדקודים appleגדיים במצולע.
זוויות במחומש משוכלל מחומשמשוכלל הוא מצולעמשוכללבעל 5 צלעות. סכום הזוויותהפappleימיות במחומשמשוכללהוא : 540 180 n) 180 5 360 900 360 540 גודל כלאחתמהזוויות הפappleימיות במחומשמשוכללהוא 108 :. α ( 180 n) n (180 5) 180 7 108 5 בappleיית עזר במחומש משוכלל כאשרappleחבראת קדקודיהמחומש המשוכלל עםמרכזהמחומש appleקבל משולשים שווי שקיים זהים שזווית הראש שלהם בת וזוויות הבסיס שלהם בappleות (ראה סרטוט). שאלה לדוגמה-מחומש משוכלל אלכסון יחידבמחומשמשוכללמחלק אתהזוויתהפappleימיתבמחומשביחסשל (4) לא appleיתן לדעת 1: 3 (3) : 3 () 1: (1) פתרון: ( 180 n) תחילהappleחשב אתגודלהזווית הפappleימית במחומשמשוכלל. appleשתמש בappleוסחה: n (180 5). α 180 וappleמצאכיגודלזווית פappleימיתהוא: 108 7 5 כעת, appleסרטט מחומשמשוכלל וappleעבירבו אלכסון. appleבדוקאילו זוויותappleוספותappleוכל למצואבסרטוט. האלכסון יוצר משולש שווה שוקיים עם צלעות המחומש. זווית הראש במשולש זה היא זווית המחומש ולכן בת 108.כתוצאמכך, זוויות הבסיס במשולששappleוצרהן בappleות 36 כלאחת. 108 36 מכאן שאלכסון המחומשמחלקאתזווית המחומשלזוויותבappleות 36 ו- 7 (7. 1 : 36 appleמצאאתהיחסבין הזוויות: 7 : * שימו לב: גםאילוהייappleו מעבירים במחומש את האלכסון השappleי שappleיתן להעביר מאותו קדקוד (ראה סרטוטappleוסף), משולשזהההיהappleוצר בצדוהשappleישלהמחומש והאלכסוןעדייןהיה מחלקאתהזווית ביחס זהה,אלא שהזוויות הגדולה והקטappleה היו "מחליפות צדדים". התשובה הappleכוappleה היא (1). n5 appleציב, α משאלה זו appleלמד כי: האלכסוappleים בצורה משוכללת מחלקים את זוויות המצולע הפappleימית בצורה פופרציוappleית. לדוגמה:במשושה משוכלל לכל קדקוד מגיעים אלכסוappleים אלה יחלקו את הזווית הפappleימית ל- אלכסוappleים (ראהסרטוט). זוויות שוות (כל אחת בת
זוויות במשושה משוכלל משושה משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 6 צלעות. סכום הזוויותהפappleימיות במשושה משוכללהוא : 70 180 n) 180 6 360 1080 360 70 כלאחתמהזוויות הפappleימיותבמצולעזה בת 10 :. α ( 180 n) n (180 6) 6 180 60 10 בappleיית עזר במשושה משוכלל כאשר appleחבר את קדקודי המשושה המשוכלל עם מרכז המשושה appleקבל צלעות זהים. משולשים שווי במשושה משוכלל מרכז המצולע appleמצא בappleקודת מפגש האלכסוappleים. מעגל החוסם משושה משוכלל במעגל החוסם משושה משוכלל צלע המשושה שווה באורכה לרדיוס המעגל. בכל מצולעמשוכללבעל יותר מ- 6 צלעות צלע המצולע קטappleה מרדיוס המעגל החוסם ובכל מצולעמשוכללבעל פחות מ- 6 צלעות צלע המצולע גדולה מרדיוס המעגל החוסם. מעגל חסום במשושה משוכלל במעגל החסום במשושה משוכלל רדיוס המעגל הוא הגובה במשולש שווה הצלעות שappleוצר מחיבור קדקוקדי המשושה עם מרכז המעגל (ראה סרטוט).
שאלה לדוגמה -משושה משוכלל בסרטוט שלפappleיכםמשושה משוכלל. ABCDEF? על פי appleתוappleים אלה והappleתוappleים שבסרטוט, AD AE 1 3 3 (1) () (3) (4) פתרון:עלמappleת למצואאתיחסהקטעים, appleביעאתאורכיהקטעים שappleשאלappleו לגביהם בעזרתאורךצלע המשושההמשוכלל. הקטעים שאappleו appleשאלים עליהם הם צלעות במשולש במשולש זה זווית אחת הידועה לappleו-הזווית appleחפש זוויות appleוספות בסרטוט: המשולש AFE. ADE ADE בת. 60 הואשווהשוקיים FE), AF אלו צלעותבמשושה המשוכלל). זווית הראשבמשולש זההיאזוויתבמשושה משוכללולכןבת 10. מכך שזוויות הבסיס של משולש זה, AFE FAE ו- FEA בappleות 30 כלאחת. זווית FED בת 10 (זווית במשושהמשוכלל)ומורכבת מזוויתבסיסבמשולש וזווית appleוספת o 10 30 AED+ ומכאןשזווית AED בת 90 o AED.לפיכך, 30, 60 מהשלמת סכום זוויות במשולש,המשולש ADE הואמשולששזוויותיו, 90 וappleשמרבו יחסצלעותשל. 1 : 3 : הappleיצבהקצר במשולשזההוא צלעהמשושה.DE. הappleיצב הארוך במשולש זה הוא הצלע היתר במשולש זה הוא הצלע appleציב ביחס שappleשאלappleו לגביו: התשובה הappleכוappleה היא (3). 3 DE וכתוצאהמכךאורכההוא, AE, AD וכפועליוצאמכךאורכההוא. DE. AD AE DE 3 DE 3
זוויות במתומן משוכלל מתומן משוכללהוא מצולעמשוכללבעל 8 צלעות. סכום הזוויות הפappleימיות במתומן משוכלל הוא 1080 : 180 n) 180 8 360 1440 360 1080 כלאחתמהזוויות הפappleימיות במתומןמשוכללבת 135 :. α ( 180 n) n (180 8) 8 180 45 135 בappleיית עזר במתומן משוכלל כאשר appleחבר את קדקודי המתומן המשוכלל עם מרכז המתומן appleקבל משולשים שווי שוקיים זהים שזווית הראש שלהם בת וזוויות הבסיס שלהם בappleות (בסרטוט שלפappleיכם שאלה לדוגמה -מתומן משוכלל בסרטוט שלפappleיכם מתומן משוכלל. על פי appleתוappleים אלה והappleתוappleים שבסרטוט, α? 135 10 90 11.5 (1) () (3) (4) פתרון: הזווית המסומappleת ב- α היאההפרשביןזוויתהמתומן המשוכלל וביןהזוויתהמסומappleתב- β (ראהסרטוט מטה). הזוויתהמסומappleתב- β היאזוויתהבסיס במשולששווהשוקיים (שוקיוצלעות המשושה המשוכלל) שזווית הראששלוהיאזווית, β פappleימית במתומן משוכלל.הזווית הפappleימית במתומן משוכלל היא בת 135, ומכאן שזווית הבסיס במשולש שווה השוקיים, 180 135. 45. היא בת: 5 כעת, appleיתן לרשום כי. α β 135. α 135. appleציב את ערכה של הזווית βבמשוואהוappleמצאכי 5
11. α לכן, 5 התשובה הappleכוappleה היא (4). עלמappleתלחסוךזמן בעתפתירת השאלות, מומלץ לזכורבעלפהאתגודל הזוויתהפappleימית,סכום הזוויותהפappleימיות ומספר האלכסוappleים במצולעים המשוכלליםהבאים: סוג המצולע המשוכלל גודל זווית פappleימית סכום זוויות פappleימיות מספר אלכסוappleים 0 180 משולש 60 360 מרובע 90 5 540 מחומש 108 9 70 משושה 10 0 1080 מתומן 135 סוף שיעור בהצלחה בתרגול!
עמוד ריק